Здравствуйте! Делали модификацию с работодателем после окончания учебы в Испании и я получила "RESIDENCIA TEMPORAL Y TRABAJO. CUENTA AJENA. INICIAL." Работаю на моем месте с 1.09.2023 Хочу сменить работодателя и предложение о новой работе сделано в другой

Здравствуйте, Мария.
Важным фактором при Продлении ВНЖ с правом на работу по контракту является тот фактор, чтобы увольнение произошло по независимым от Вас причинам. Однако не обязательно, что Миграционная служба уделит этому должное внимание, если Вы проработали 3 месяца на работодателя, оформившего Вам ВНЖ, и заключили контракт на работу с новым работодателем и работаете на него. Как показывает практика, Миграционная служба не всегда обращает внимание на увольнение по собственному желанию, но это может стать причиной отказа в продлении. 
Заново регистрироваться в "Seguridad Social" Вам не нужно. Новый работодатель просто должен будет зарегистрировать Вас как своего работника в "Seguridad Social".